Une feuille réaliste à finir en 30 minutes

But : réactiver les gestes d’examen, pas refaire tout le cours. Pour chaque bloc : lis la question, réponds mentalement ou sur brouillon, puis ouvre la correction.

10 blocs1 exercice type par notioncorrections cachéesmobile lisible

Chrono : 30:00
Parcours conseillé : 3 min par bloc. Saute un bloc si tu bloques plus de 90 secondes.

1 Algo 2 Graphes 3 Adjacence 4 $M^k$5 Produit 6 Inverse 7 Bases 8 Addition 9 Déclencheurs 10 Dump

1. Algorithmique

5 min

Question type. Donné :

a ← 1
b ← 1
Pour i allant de 1 à 4 faire
  c ← a + b
  Afficher(c)
  b ← a
  a ← c
FinPour

Écris les valeurs affichées.

Je sais que $a\leftarrow 1$ est une affectation, pas une équation.

Je fais une trace : tour, $a$, $b$, $c$, affichage.

Je respecte l’ordre : calculer $c$, afficher, puis décaler $b\leftarrow a$, $a\leftarrow c$.

Indice

Commence avec $a=1$, $b=1$. À chaque tour, $c=a+b$.

Correction modèle

Tour	$a$ avant	$b$ avant	$c=a+b$	Affiché
1	1	1	2	2
2	2	1	3	3
3	3	2	5	5
4	5	3	8	8

Réponse attendue : l’algorithme affiche $2,3,5,8$.

Erreur à éviter : dans une boucle Tant que, oublier $i\leftarrow i+1$ peut créer une boucle infinie.

2. Graphes orientés

3 min

Question type. On sait que les arcs $A\to B$, $B\to A$, $A\to C$ et $C\to D$ existent. Dire si les chemins suivants existent : $(A,B,A)$, $(A,C,D)$, $(D,C)$.

Je vérifie chaque flèche dans le bon sens.

Je n’invente pas la flèche inverse.

Indice

Un chemin $(S_0,S_1,S_2)$ existe si $S_0\to S_1$ et $S_1\to S_2$ existent.

Correction modèle

$(A,B,A)$ existe car $A\to B$ et $B\to A$.
$(A,C,D)$ existe car $A\to C$ et $C\to D$.
$(D,C)$ n’est pas justifié : on connaît $C\to D$, pas $D\to C$.

3. Matrice d’adjacence

4 min

Question type. Avec l’ordre $A,B,C,D$, interpréter la matrice :

$$M=\begin{pmatrix}0&1&1&0\\1&0&1&0\\0&0&0&1\\1&0&0&0\end{pmatrix}.$$

Donne les arcs qui partent de $A$ et explique $m_{DA}=1$.

Ligne = départ.

Colonne = arrivée.

$1$ = arc existe ; $0$ = arc n’existe pas.

Indice

Ligne $A$ : $(0,1,1,0)$.

Correction modèle

Ligne $A$ : il y a des $1$ en colonnes $B$ et $C$. Donc les arcs qui partent de $A$ sont :

$$A\to B,\qquad A\to C.$$

$m_{DA}=1$ signifie : ligne $D$, colonne $A$, donc il existe l’arc $D\to A$.

4. Puissances $M^k$

3 min

Question type. Dans $M^3$, le coefficient ligne $A$, colonne $D$ vaut $2$. Que signifie cette information ?

$M$ = chemins de longueur 1.

$M^2$ = chemins de longueur 2.

$M^3$ = chemins de longueur exactement 3.

Correction modèle

Le coefficient $(A,D)$ de $M^3$ donne le nombre de chemins de longueur exactement $3$ allant de $A$ vers $D$. S’il vaut $2$, il existe deux chemins de longueur 3 de $A$ vers $D$.

Mini-règle. Si un coefficient de $M+M^2+M^3+M^4$ est non nul, alors le sommet colonne est accessible depuis le sommet ligne en 1 à 4 arcs.

5. Produit de matrices

5 min

Question type. Calculer $AB$ :

$$A=\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}3&4\\5&6\end{pmatrix}.$$

Je vérifie le format : $2\times2$ par $2\times2$.

Je calcule ligne par colonne.

Indice

Premier coefficient : ligne 1 de $A$ fois colonne 1 de $B$ : $1\times3+2\times5$.

Correction modèle

$$AB=\begin{pmatrix}1\times3+2\times5&1\times4+2\times6\\0\times3+1\times5&0\times4+1\times6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}13&16\\5&6\end{pmatrix}.$$

6. Identité, inverse, résolution

3 min

Question type. On sait que $AX=Y$ et $CA=I$. Exprimer $X$.

Je multiplie à gauche par $C$.

J’utilise $CA=I$.

Correction modèle

$$AX=Y$$ $$CAX=CY$$ $$IX=CY$$ $$X=CY.$$

Phrase BTS : Comme $CA=I$, on obtient $X=C Y$.

Ne pas écrire $X=YC$ : l’ordre des matrices compte.

7. Conversions de bases

4 min

Question A. Convertir $11011_2$ en décimal.

Correction A

$$11011_2=1\cdot2^4+1\cdot2^3+0\cdot2^2+1\cdot2^1+1\cdot2^0=16+8+2+1=27_{10}.$$

Question B. Convertir $1CE_{16}$ en décimal.

Correction B

$$1CE_{16}=1\cdot16^2+12\cdot16^1+14\cdot16^0=256+192+14=462_{10}.$$

Question C. Retenir : $185_{10}=10111001_2$ et $10111001_2=B9_{16}$.

8. Addition binaire

2 min

Question type. Calculer $11011_2+101_2$.

$1+1=10_2$.

$1+1+1=11_2$.

Correction modèle

Contrôle rapide en décimal :

$$11011_2=27_{10},\qquad 101_2=5_{10},\qquad 27+5=32.$$

$$32_{10}=100000_2.$$

Donc :

$$11011_2+101_2=100000_2.$$

9. Déclencheurs d’examen

3 min

Si la question dit...	Réflexe immédiat
« matrice d’adjacence »	ligne = départ ; colonne = arrivée ; $1$ si arc.
« interpréter $M^3$ »	chemins de longueur exactement 3.
« accessible ? »	regarder $M+M^2+M^3+M^4$ ou fermeture transitive.
« calculer $AB$ »	format, puis ligne par colonne.
« $AX=Y$ et $CA=I$ »	$X=CY$.
« Tant que »	vérifier que la variable de condition évolue.
« base 16 »	$A=10,B=11,C=12,D=13,E=14,F=15$.

10. Memory dump final

2 min

À écrire sur brouillon en début d’épreuve si autorisé :

$$\text{Adjacence : ligne = départ, colonne = arrivée.}$$ $$(M^k)_{ij}=\text{nombre de chemins de longueur }k\text{ de }i\text{ vers }j.$$ $$A_{m\times n}B_{n\times p}\Rightarrow AB_{m\times p}.$$ $$AX=Y,\ CA=I\Rightarrow X=CY.$$ $$F_{n+2}=F_{n+1}+F_n.$$ $$1+1=10_2,\quad A=10,\ B=11,\ C=12,\ D=13,\ E=14,\ F=15.$$