Objectif partiel

Réviser ce qui tombe probablement

Cette fiche interactive cible les notions visibles dans les photos et listées dans le fichier de synthèse : boucles et Fibonacci, graphes orientés, matrices d’adjacence, puissances de matrices, matrices générales, inverse/identité, numération en bases 2, 10, 16 et addition binaire.

This revision site targets the topics from the board photos and summary file: loops and Fibonacci, directed graphs, adjacency matrices, powers of matrices, general matrices, inverse/identity matrices, base conversion and binary addition.

BTS SIOMaths appliquéesMode sombre par défautMathJax / LaTeX

Règle de travail : ne pas apprendre par blocs isolés. Pour chaque notion, savoir faire : reconnaître la question, écrire la méthode, faire un exemple, vérifier le résultat.

Mode d’emploi

Lire la fiche du chapitre.
Ouvrir la cheat sheet correspondante.
Faire le quiz en mode entraînement.
Finir par le drill examen, sans indice.

Read the chapter notes, use the cheat sheet, then practise with quizzes and finish with exam-style drill questions.

Plan rapide

Priorité	Chapitre	Compétence attendue
1	Numérisation	Convertir entre binaire, décimal, hexadécimal ; additionner en binaire.
2	Graphes + matrices d’adjacence	Lire un graphe, construire $M$, interpréter $M^2$, $M^3$, $M^4$.
3	Matrices générales	Calculer $A\times B$, utiliser $I$ et une matrice inverse.
4	Algorithmique	Suivre les variables dans une boucle Pour ou Tant que, notamment Fibonacci.

Plan partiel

Les quatre grands blocs annoncés sont : algorithmique/boucles, graphes orientés, matrices, numérisation. Les photos ajoutent des sous-priorités très probables : Fibonacci, matrice d’adjacence, puissances de matrices pour les chemins, multiplication, inverse/identité, conversions et addition binaire.

Stratégie minimale : maîtriser les méthodes mécaniques. Ce partiel semble moins viser la théorie abstraite que la capacité à exécuter correctement une procédure.

À savoir refaire sans aide

Tableau de suivi des variables d’un algorithme.
Conversion $185_{10}$ en base 2.
Conversion $1CE_{16}$ en décimal.
Addition $11011_2+101_2$.
Construction d’une matrice d’adjacence depuis un graphe.
Lecture d’un chemin comme $(A,B,A)$.
Produit ligne-colonne.
Utilisation de $C\times A=I$ pour résoudre $A\times X=Y$.

Erreurs fréquentes

Inverser ligne et colonne dans une matrice d’adjacence.
Confondre $M^3$ avec trois arcs quelconques ; $M^3$ compte les chemins de longueur exactement 3.
Oublier les retenues en addition binaire.
Lire $1CE_{16}$ comme un nombre décimal.
Dire $X=A^{-1}Y$ sans vérifier quelle matrice joue le rôle d’inverse.

Algorithmique / boucles

fiche de révisionpseudo-code

Un algorithme décrit une suite d’instructions exécutées dans un ordre précis. Pour le partiel, l’objectif principal est de suivre les valeurs des variables.

Déclaration
  i, a, b, c : entier
Début
  a ← 1
  b ← 1
  Pour i allant de 1 à 8 faire
    c ← a + b
    Afficher(c)
    b ← a
    a ← c
  FinPour
Fin

An algorithm is a sequence of instructions. In the exam, the key skill is usually to track variable values after each loop iteration.

Boucle Pour

À utiliser quand le nombre de répétitions est connu à l’avance.

$\text{Pour } i \text{ allant de } 1 \text{ à } 8 \text{ faire}$ signifie : faire 8 tours, avec $i=1,2,\dots,8$.

Boucle Tant que

À utiliser quand la répétition dépend d’une condition.

i ← 1
Tant que i ≤ 8 faire
  ...
  i ← i + 1
FinTantQue

Cheat sheet

Mot	Sens
Affectation	$a\leftarrow 1$ met 1 dans $a$.
Afficher	Écrire la valeur actuelle.
Incrémenter	$i\leftarrow i+1$.
Trace	Tableau des valeurs après chaque tour.

Exemple réel

Un système calcule chaque jour une nouvelle valeur à partir des deux jours précédents : charge serveur, croissance d’utilisateurs, propagation d’un message. C’est exactement la logique de Fibonacci.

Fibonacci

La suite de Fibonacci commence souvent par $1,1$ puis chaque terme est la somme des deux précédents.

$$F_1=1,\quad F_2=1,\quad F_{n+2}=F_{n+1}+F_n$$

Tour	$a$	$b$	$c=a+b$	affichage
début	1	1	-	1, 1 souvent affichés avant la boucle
1	2	1	2	2
2	3	2	3	3
3	5	3	5	5

Attention : l’ordre des affectations est décisif. Si on fait $a\leftarrow c$ avant $b\leftarrow a$, on perd l’ancienne valeur de $a$.

Version Tant que

i ← 1
Tant que i ≤ 8 faire
  c ← a + b
  Afficher(c)
  b ← a
  a ← c
  i ← i + 1
FinTantQue

Le compteur doit avancer, sinon la boucle ne s’arrête jamais.

Graphes orientés

Un graphe orienté contient des sommets et des arcs. Un arc $A\to B$ signifie que l’on peut aller de $A$ vers $B$, pas forcément de $B$ vers $A$.

Un chemin $(A,B,A)$ existe si les arcs $A\to B$ et $B\to A$ existent.

Vocabulaire

Terme	Définition
Sommet	Point du graphe : $A,B,C,D$.
Arc	Flèche orientée entre deux sommets.
Chemin	Suite de sommets reliés par des arcs dans le bon sens.
Boucle	Arc qui part d’un sommet et revient sur lui-même.

Méthode examen

Nommer l’ordre des sommets.
Lire chaque flèche.
Écrire les chemins demandés.
Vérifier le sens des flèches.

Matrice d’adjacence

Pour un graphe orienté, la matrice d’adjacence $M$ indique les arcs directs.

$$m_{ij}=\begin{cases}1&\text{s’il existe un arc du sommet }i\text{ vers le sommet }j\\0&\text{sinon}\end{cases}$$

$$M=\begin{pmatrix}0&1&1&0\\1&0&1&0\\0&0&0&1\\1&0&0&0\end{pmatrix}$$

Ici, la ligne $A$ vaut $(0,1,1,0)$ : depuis $A$, on va vers $B$ et vers $C$, mais pas vers $A$ ni $D$.

The row gives the starting vertex. The column gives the arrival vertex. A 1 means the directed edge exists.

Erreur critique

Ligne = départ. Colonne = arrivée. Ne jamais inverser.

Si $m_{BA}=1$, cela signifie $B\to A$, pas $A\to B$.

Puissances de matrices et chemins

Dans une matrice d’adjacence, les puissances de $M$ comptent les chemins.

Le coefficient $(i,j)$ de $M^k$ donne le nombre de chemins de longueur exactement $k$ allant de $i$ vers $j$.

$$M+M^2+M^3+M^4$$ sert à repérer l’accessibilité : s’il y a une valeur non nulle en $(i,j)$, alors $i$ peut atteindre $j$ en 1 à 4 arcs.

Matrice	Interprétation
$M$	Chemins de longueur 1.
$M^2$	Chemins de longueur 2.
$M^3$	Chemins de longueur 3.
$M+M^2+M^3+M^4$	Accessibilité jusqu’à longueur 4.

Exemple

Si le coefficient ligne $A$, colonne $D$ de $M^3$ vaut 2, il existe deux chemins différents de longueur 3 de $A$ vers $D$.

Matrices générales

Le produit $A\times B$ se calcule ligne par colonne.

$$\text{coefficient}_{ij}=\text{ligne }i\text{ de }A\cdot\text{ colonne }j\text{ de }B$$

$$\begin{pmatrix}a&b&c\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=ax+by+cz$$

Application visible sur le tableau

Une ligne peut représenter des quantités, et une colonne des valeurs. Le produit donne un total : prix, annonces, projets sponsorisés, etc.

$$0\times 1928340+510\times 1220+1220\times 246=917400$$

Compatibilité

$A_{m\times n}\times B_{n\times p}$ est possible. Le résultat est de taille $m\times p$.

Le nombre de colonnes de $A$ doit être égal au nombre de lignes de $B$.

Matrice identité, inverse et résolution

La matrice identité $I$ joue le rôle du nombre 1 pour les matrices.

$$I_3=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}$$

Si $C\times A=I$, alors $C$ est l’inverse à gauche de $A$. Dans les exercices usuels, on l’utilise comme $A^{-1}$ pour résoudre.

$$A\times X=Y \quad\text{et}\quad C\times A=I$$ $$C\times A\times X=C\times Y$$ $$I\times X=C\times Y$$ $$X=C\times Y$$

Raccourci

Quand tu vois $A\times X=Y$ et $C\times A=I$, écris directement : $X=C\times Y$.

Numérisation / bases

Une base indique les puissances utilisées pour écrire un nombre.

Base	Chiffres	Puissances
2	0, 1	$2^0,2^1,2^2,\dots$
10	0 à 9	$10^0,10^1,10^2,\dots$
16	0 à 9, A, B, C, D, E, F	$16^0,16^1,16^2,\dots$

Binaire vers décimal

$$11011_2=1\times2^4+1\times2^3+0\times2^2+1\times2^1+1\times2^0=27_{10}$$

Hexadécimal vers décimal

$$1CE_{16}=1\times16^2+12\times16^1+14\times16^0=462_{10}$$

Décimal vers binaire

On divise par 2 et on lit les restes de bas en haut.

$$185_{10}=10111001_2$$

Addition binaire

$$11011_2+101_2=100000_2$$

Retenues binaires

Somme	Résultat
$0+0$	0
$1+0$	1
$1+1$	0 avec retenue 1
$1+1+1$	1 avec retenue 1

Binary addition uses carries exactly like decimal addition, but with base 2.

Photos du cours

Les photos sont intégrées comme rappel visuel. Elles servent de trace du périmètre du partiel.

Graphes, matrice d’adjacence, puissances et addition binaire

Graphe orienté A-B-C-D, matrice d’adjacence, chemins

Matrice d’adjacence et chemins de longueur 3

Conversions binaire, décimal, hexadécimal

Multiplication de matrices et application

Quiz par chapitre

Choisis une banque de questions. Une seule question s’affiche à la fois. Les indices, corrections et liens vers les notes restent cachés jusqu’à demande.

Score : 0.0 / 20

Question 1 / 50

Ouverture recommandée

Test blanc

Entraînement type partiel : 50 QCM mélangés, avec calculs, interprétations et automatismes. Une seule question s’affiche à la fois ; le score est converti sur 20.

Mock exam practice: 50 mixed multiple-choice questions with calculations, interpretations and core exam reflexes. One question appears at a time; the score is converted to /20.

Score : 0.0 / 20

Question 1 / 50

Cheat sheets globales

Algorithmique

Pour = nombre de tours connu.
Tant que = condition testée à chaque tour.
Trace = tableau des variables.
Fibonacci = nouveau terme = somme des deux précédents.

Graphes

Arc orienté : attention au sens.
Matrice : ligne départ, colonne arrivée.
$M^k$ : chemins de longueur $k$.
Somme des puissances : accessibilité.

Matrices

Produit : ligne par colonne.
Compatibilité : colonnes de gauche = lignes de droite.
$I$ ne change pas la matrice.
Si $C A=I$ et $A X=Y$, alors $X=C Y$.

Numérisation

Binaire : puissances de 2.
Hexadécimal : A=10, B=11, C=12, D=13, E=14, F=15.
Décimal vers binaire : divisions par 2, restes lus de bas en haut.
Addition binaire : $1+1=10_2$.